SEMINAR @ SISSSA, prof. Lorenzo Bertini - course

[Barbara Corzani]

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FUNCTIONAL ANALYSIS SECTOR'S ACTIVITIES
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COURSE

Prof. Lorenzo Bertini
(Università di Roma 1)

Title:
"Modelli stocastici di sistemi di particelle interagenti
e problemi variazionali connessi"

Thu 3 May 2007  @  11.00 a.m.
Fri  4 May 2007  @   11.00 a.m.

Mon 14 May 2007 @  02.30 p.m.
Tue  15 May 2007 @  11.00 a.m.
Wed 16 May 2007 @  11.00 a.m.
Thu   17 May 2007 @ 11.00 a.m.
Fri    18 May 2007  @ 11.00 a.m.


SISSA - Main Building - ground floor - room B

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Si considera un sistema di passeggiate aleatorie intergaenti e viene
mostrato come, nel limite di scala diffusivo, la misura empirica
converga alla soluzione di un'equazione di diffusione non lineare.
Viene poi analizzata la probabilita' che la misura empirica segua
una traiettoria assegnata (principio di grandi deviazioni).
Nel seguito del corso si analizzano vari problemi variazionali per il
funzionale di costo ottenuto. In particolare si ottiene il quasi
potenziale nel caso del esclusione semplicie con scambio di particelle
con l'ambiente. Si discute successivamente il principio di grandi
deviazioni per la corrente empirica e si deriva il funzionale di costo
per la media temporale delle medesima. Infine, se possibile, si
discute brevemente il caso di passeggiate aleatorie asimmetriche che
sono descritte, nel limite di scala iperbolico, da una legge di
conservazione.

Scopo principale del corso e' fornire un'introduzione all'argomento
illustrando i problemi piu' interessanti ed i risultati rilevanti.
Di conseguenza le dimostrazioni non saranno svolte in dettaglio, ma
solo accennate.


Programma tentativo.

1. Richiami su catene di Markov a tempo continuo.
   Passeggiate aleatorie.

2. Limite idrodinamico per passeggiate aleatorie indipendenti.
   Modelli Zero Range ed Esclusione semplicie

3. Cenni alla teoria di grandi deviazioni.
   Principi di grandi deviazioni per la misura empirica in
   sistemi di particelle indipendenti.

4. Teoria di Friedlin-Wentzell. Problema dell'uscita da un dominio e
   quasi potenziale.

5. Modelli per stati stazionari di non equilibrio.
   Calcolo del quasi potenziale per l'esclusione semplicie in
   condizioni di non equilibrio.

6. Principio di grandi deviazioni per la corrente empirica.
   Problema variazionale connesso.

7. Esclusione asimmetrica: limite idrodinamico e funzionale
   di Jensen-Varadhan (cenni). Formulazione com problema di controllo.



BIBLIOGRAFIA.

1-3 Kipnis C., Landim C.,
Scaling limits of interacting particle systems
Springer-Verlag, Berlin, 1999.

4 Freidlin M.I., Wentzell A.D.,
Random perturbations of dynamical systems.
Springer, 1998.

5 Bertini L., De Sole A., Gabrielli D., Jona-Lasinio G., Landim C.,
Large deviations for the boundary driven simple exclusion process.
Math. Phys. Anal. Geom. 6, 231--267 (2003).

6 Bertini L., De Sole A., Gabrielli D., Jona-Lasinio G., Landim C.,
Large deviations of the empirical current in interacting particle systems.
Theory of Probability and its Applications, 51, 2--27 (2007).

7 Varadhan S.R.S.,
Large deviations for the simple asymmetric exclusion process.
Stochastic analysis on large scale interacting systems,
Adv. Stud. Pure Math., 39,  1--27 (2004).